% Modele de doc LaTeX pour bac blanc avec page de garde style bac et préambule de l'APMEP adapté pour Overleaf et mise en page A4.
%http://www.apmep.fr/-Annales-Bac-Brevet-BTS-
%http://www.apmep.fr/-Terminale-S-240-sujets-depuis-1999-
%
% Author: Vincent Pantaloni (Lycée Jean Zay, Orleans)
% http://prof.pantaloni.free.fr/
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}%Pas d'indentation après saut de ligne.
%% Ajouts pour page de garde style BAC
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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet} %pour éviter les tirets dans les "itemize" qui apportent confusion avec le signe moins.
%% Début page de garde style BAC
\SetWatermarkText{{\bf O B L I G A T O I R E}}
\SetWatermarkFontSize{1.8cm}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{{\sl Lycée Jean Zay}}%\textbf{Nom:}}
\chead{}%\textbf{Contr\^ole commun \no 3}}
\rhead{\textbf{Baccalauréat blanc}$\ $ page \thepage / 5 }
\lfoot{} \cfoot{}\rfoot{}
\rule{0pt}{1.5cm}
\begin{center}
\fbox{{\Huge BACCALAUR\'EAT G\'EN\'ERAL}}\\
\vspace{3cm}
Session 2017\\
\vspace{2cm}
{\LARGE {\bf MATH\'EMATIQUES}}\\
\rule{7cm}{1pt}\\
\vspace{1.5cm}
{\Large Série: {\bf S}}\\
\vspace{1.5cm}
DUR\'EE DE L'\'EPREUVE: {\bf 4 heures} -- COEFFICIENT: {\bf 7}\\
\vspace{2cm}
{\bf {\it Ce sujet comporte cinq pages numérotées de 1/5 à 5/5}}\\
{\bf {\it La dernière page comporte une annexe à remettre complétée de
votre nom et classe.}}\\
\vspace{2cm}
{\it L'utilisation d'une calculatrice est autorisée}\\
\vspace{1.5cm}
\framebox[1.1\width]{
\parbox{0.78\textwidth}{La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}}
\end{center}
\vfill
%\vspace{3cm}
\hfill {\bf Tournez la page S.V.P.}
%% FIN page de garde style BAC
\newpage
%
%
%
%
%%###########################################
%% DEBUT --- COLLAGE ICI DES EXOS APMEP
%%###########################################
%
%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 1
%Métropole -- La Réunion 20 juin 2016
\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip
Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près.
\medskip
\textbf{Partie 1}
\medskip
On estime qu'en 2013 la population mondiale est composée de 4,6 milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que 46,1\,\% des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et 53,9\,\% en zone urbaine.
En 2013, d'après la fédération internationale du diabète, 9,9\,\% de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et 6,4\,\% de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.
On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :
$R$ l'évènement : \og la personne choisie habite en zone rurale \fg,
$D$ l'évènement: \og la personne choisie est atteinte de diabète \fg.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
\item La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu'elle habite en zone rurale ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie 2}
\medskip
Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à 60~mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à 110~mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme \og normale \fg{} si elle est comprise entre 70~mg. dL$^{-1}$ et 110 mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre 60 et 70~mg.rdL$^{-1}$ ne font pas l'objet d'un suivi particulier.
On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d'établir que la probabilité qu'il soit en hyperglycémie est 0,052 à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$.
On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d'un adulte d'une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm, yunit=40cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {45}
\def\xmax {135}
\def\ymin {-0.02}
\def\ymax {0.035}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\m{90} \def\s{12.3}
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\uput[d](70,0){70}
\uput[d](90,0){$\mu = 90$}
\uput[d](110,0){110}
\uput[d](125,0){mg.dL$^{-1}$}
\psline[linestyle=dashed](90,0)(90,0.0324)
\psline[linestyle=dashed](70,0)(70,0.00865)
\psline[linestyle=dashed](110,0)(110,0.00865)
\psline(\xmin,0)(\xmax,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun \og normale\fg{} ?
\item Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
\item Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie 3}
\medskip
Afin d'estimer la proportion, pour l'année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard \np{10000}~personnes.
Dans l'échantillon étudié, 716 personnes ont été diagnostiquées diabétiques.
\medskip
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\%, estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
\item Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l'on veut obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 0,01 ?
\end{enumerate}
%\vspace{0,5cm}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 2
%Métropole -- La Réunion 20 juin 2016
\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip
On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \geqslant 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence:
\[z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}.\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$
\item Dans cette question, on suppose que $z_0 = \text{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
\item Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$ ?
Prouver cette conjecture.
\end{enumerate}
\item Déterminer $z_{\np{2016}}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \text{i}$.
\item Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 3
\vspace{0,5cm}
\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\end{document}
