PL 7 Introducción a la derivada
Author
MSc. Fausto M. Lagos S.
Last Updated
3 years ago
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
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%-----------------------Homework------------------------------------
%-------------------Arman Shokrollahi---------------------------------
%---------------------Coding Theory-------------------------------
\documentclass[a4 paper]{article}
% Set target color model to RGB
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\tikzset{ArrowStyle/.append style={>=stealth, gray!75!cyan}}
\begin{document}
\homework{Plan Lector \#7}{Julio. 18 al 02 de Agosto de 2019}{MSc. Fausto M. Lagos S.}{}{Aquí va su nombre}{}
En este plan lector se desarrollarán tres planteamientos el primero correspondiente a tres puntos, el segundo a tres puntos y el tercero a cuatro puntos. Puede utilizar todo el material bibliográfico a su disposición y también preguntar todo lo que considere necesario. Preste atención al margen derecho donde encontrará premios y bonificaciones adicionales.
\vspace{5mm}
\problem{1} \textbf{3 puntos} \marginnote{\includegraphics[scale = 1]{overleaf}} Del Calculo de Zill lea el apartado \textcolor{blue}{Funciones implícitas y explícitas} (pág. 157) y resuelva cualquiera de los ejercicios 53 a 56 de la página 161. (\textit{La correspondiente gráfica debe desarrollarla con el paquete TikZ})
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\solution{}
\vspace{20mm}
\problem{2} \textbf{3 puntos} - Del Calculo de Zill lea el \textcolor{blue}{\textbf{Teorema 3.7.4} Derivada de una función inversa} (pág. 163) y resuelva el ejercicio 43 de la página 167.
\vskip 3mm
\solution{}
\vspace{20mm}
\problem{3} \textbf{4 puntos} - \emph{Derivación logarítmica:} Alguna veces dada una función $u$, para determinar $D_x[u]$ es más fácil hacerlo a través de $D_x[\ln(u)]$. En general, siendo $u$ una función de $x$ se tiene
\[
D_x[\ln (u)] = \frac{u'}{u}
\]
Un ejemplo simple, para determinar la derivada de $u = a^x$ puede procederse así:
\begin{NodesList}
\begin{align*}
D_x[u &= a^x] \AddNode \\
D_x[\ln u &= \ln a^x] \AddNode \\
D_x[\ln u] &= D_x[x\ln a] \AddNode \\
\frac{u'}{u}&= \ln a \AddNode \\
u' &= u\ln a \AddNode \\
D_x[a^x] &= a^x\ln a \AddNode
\end{align*}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{6cm}Aplicar $\ln$ a ambos lados de la igualdad\end{minipage}}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{6cm}Aplicar propiedad de logaritmos\end{minipage}}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{4cm}Resolver la derivada\end{minipage}}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{4cm}Despejar $u'$\end{minipage}}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{4cm}Sustituir $u = a^x$\end{minipage}}
\end{NodesList}
Como puede observarse el procedimiento consiste en aplicar $\ln$, aplicar las propiedades del logaritmo y derivar. Veamos el método aplicado en un segundo ejemplo en el que se busca obtener la derivada de $v = x^x$.
\begin{NodesList}
\begin{align*}
D_x[v &= x^x] \AddNode \\
D_x[\ln v &= \ln x^x] \AddNode \\
D_x[\ln v] &= D_x[x\ln x] \AddNode \\
\frac{v'}{v} &= \ln x + 1 \AddNode \\
v' &= v(\ln x + 1) \AddNode \\
D_x[x^x] &= x^x(\ln x + 1) \AddNode
\end{align*}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Aplicar $\ln$ a ambos lados de la igualdad}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Aplicar propiedad de los logaritmos}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Derivar, a la derecha usando regla del producto}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Despejar $v'$}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Sustituir $v = x^x$}
\end{NodesList}
Utilice el método de derivación algorítmica para encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva dada.
\[
y = \sqrt{x(x + 4)}
\]
\vskip 3mm
\solution{}
\end{document}